知友 | 汪有
如果在学术同行针对一个问题百思不得其解，投入大量研究方能得解之时，有时用一晚的时间解开一个方程，已经是对学术对手的重击。
讲一段微积分发明权争夺战里，关于两个微积分曲线函数方程问题求解的历史故事吧：
十七世纪末，正是牛顿和莱布尼茨两大山头争夺微积分发明权大战一触即发的时刻。
大风起于青萍之末，起初的争论中双方均未出手解方程式，仅仅是在二人的支持者中小范围地发动。其中莱布尼茨阵营中的主力旗手，是来自瑞士的伯努利兄弟：雅各·伯努利（Jacob Bernoulli）及约翰·伯努利（Johann Bernoulli）。
伯努利兄弟出自瑞士传奇世家，伯努利家族三代之中诞生八位科学家，家族一百多位后裔均在历史上占有一席之地。哥哥雅各布·伯努利生于 1654 年，本艺术与神学硕士出身，长于微积分、无穷级数求和，更承接费马和帕斯卡的研究，成为概率论领域的大师。弟弟约翰·伯努利，晚于哥哥雅各布 13 年出生，数学天赋更胜其兄，他读到莱布尼茨的微积分论文时，还只是 21 岁的青年，他在读医科学系，却跟从哥哥雅各布学习数学技巧。
在跟随哥哥学习莱布尼茨的微积分理论仅仅两年，他靠着远过于哥哥的天赋，已经积累了与雅各布同等的数学功底，他以莱布尼茨为自己的师长，二人迅速地建立起通信联系。当时英国皇家科学院出于民族荣誉，力主牛顿是微积分的真正发明人；而约翰·伯努利力撑老师，指责牛顿才是剽窃者，并力主莱布尼茨与牛顿直接对抗。
伯努利兄弟之间的情谊实不甚深，二人之间甚至成为了强劲的竞争对手。约翰在数学领域的研究后发而先至，他提出的洛必达法则成为了求极限问题的重要算法，也是如今考研涉及到的高等数学重要考点。约翰·伯努利曾经辅导过洛必达侯爵，天赋有限的侯爵为了在数学史上占有一席之地，直接出版汇编了约翰·伯努利的研究成果，并向伯努利提供大量金钱以为补偿。他出版的数学专著《无穷小分析》除了书名基本全部内容都是约翰所作，取得巨大的影响。约翰在洛必达在世的日子里，对代写著作一事三缄其口，侯爵最终得偿所愿，高数课本里重要的洛必达法则至今仍冠以其名。
这对兄弟之间最初的不快起于悬链线研究，悬链线问题试图求出：
当一条绳子两端固定，中间自然下垂时所自然形成的曲线形状。
悬链线长这样：
看来简单解方程式，但一直未有定论。这个问题历史悠久，达芬奇就曾经思考过这个问题（他曾经研究过，如果要绘画戴项链的女人，那项链的曲线应该怎么画）。后来学术界的伽利略、惠更斯、莱布尼茨都曾对此进行过思考。很多人猜测悬链线是一条抛物线，雅各布决心以微积分为武器加以证明，未能建功。约翰在哥哥进行了整整一年的无效尝试后，只用了一夜便求出结果，是一个双曲余弦函数，方程长这样：
发布结果后，他专门以自夸的语调写下与哥哥交流的全部过程。雅各布感到被严重打脸，引以为奇耻大辱。
约翰随即于 1697 年提出「最速降线」问题向全欧洲数学界提出挑战，这题看上去非常简单：
如有小球从高点自然滚下，连接起点和终点的何种曲线形状的导轨，可以令滚落时间最短。
约翰·伯努利以得意的语调，宣布自己早已得知问题的答案，只待有识之士以同等智慧摘取桂冠。
更重要的一环是：当年微积分发明权争端中，牛顿靠着英国皇家学会的力挺，以及刚出版不久的巨著《论自然哲学的数学原理》的作者身份，一直处于优势。怀着为老师出头的心态，约翰在声明中，专门对牛顿加以暗讽，并专程将问题寄往英国，来看这位自称先于老师莱布尼茨发明了微积分的数学家是否当真名符其实。
以约翰·伯努利的造诣，已经可以用天才来形容。然而年轻的天才在学界第一人牛顿面前，还是出现了后人眼中人类常见的第三大错觉：
「我能反杀。」
牛顿当时已经离开生活三十年的剑桥，前往伦敦工作整整一年，时年五十三岁的科学家位列英国造币局局长。局长本为养老闲职，可牛顿却以科学家的精密和前所未有的热情对整个造币局加以改造，以铁腕迅速攫取并扩大的造币局长的权力。他提高造币厂产能，与造伪币者斗智斗勇，成为出色的大英官僚。
在约翰·伯努利的挑战信函寄到伦敦牛顿的府邸之时，他刚刚忙完当日铸造新币的工作到家。精疲力竭的牛顿见信愤怒异常，直言：
「我不喜欢在数学问题上被外国人戏弄。」
随后他拿起伯努利的信函，直接计算到翌日凌晨。得到正确答案，牛顿只需要一夜：
最速降线是旋轮线。旋轮线标准函数方程长这样：
那一年的复活节将近之时，约翰·伯努利收到了四份正确答案。他的老师莱布尼茨和学生洛必达侯爵通过此前长久的研究，都给出了正确解答，他的哥哥雅各布也提交了正解。
而给他最后重击的则是最后一份答案。那份答案论证清晰流畅，没有署名，只是在信封上盖有来自英国的邮戳。
约翰·伯努利看着纸上优美的论证，带着羞恼与敬畏感叹：
「我从他的利爪，认出了这头狮子。」
所以，无论是约翰·伯努利一晚算出悬链线方程打脸雅各布·伯努利，还是牛顿用一晚求解最速降线——
当真能用一晚解开超难的方程还能正确得解，已经是足以大杀特杀的成就。
The end
p.s. 伯努利一眼得以认出牛顿的匿名答案，大多数科学史记录多归功于牛顿优雅简洁的论证；但也有部分原因在于：由于牛顿和莱布尼茨分别发明微积分，两人的符号体系不尽相同，牛顿采用点记法，欧洲大陆则多采用莱布尼茨的现代记法（莱布尼茨的记法更加简洁，沿用至今）。故而从牛顿匿名信函中的点记法微积分符号也相当于签名认证，还请各位知友留意。
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题图来源：simpleinsomnia / CC BY
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