问题：请教协方差分析调整协变量后，只看到了标准误，找不到标准差，怎么能得到调整以后的标准差，试过不同软件如SPSS、SAS都是如此，谢谢老师。
答案：在回答这个问题之前，首先应看看协方差分析的定义，协方差分析（analysis of covariance, ANCOVA/ MANCOVA）是把线性回归（linear regression）与方差分析（analysis of variance, ANOVA/ MANOVA）结合起来应用的一种方法，其目的是要把与因变量y值呈线性关系的自变量（independent variable）x值调整成相等以扣除其影响后，用于检验两个或多个校正平均值间有无差别的方法。通过协方差分析，能够校正和对比由于各组x值的不同所引起的偏倚，更恰当地评价各种处理的优劣。
从定义可见，这个方法更像线性回归计算标准差，即包含了连续自变量（协变量）和分组自变量（因子）的线性回归方法。经笔者测试计算标准差，不光SAS、SPSS的结果是均值的标准误，连Minitab也是。
下图为SPSS的结果（第142页）：
下面用本公众号新书第178页中一个例子来解释一下（插入一个广告，下图为新书的封面，即将上架，请认准这个封面，其目录可查看：）
〖例7-27〗 为比较两个处理—缓慢释放的肥料（S）和快速释放的肥料（F），与对照（C）的一种标准的肥料对于花生米产量（克）的效应。每个处理有10次重复，试验在室温中进行。在开始试验时，研究者认识到这30株花生的健康水平与成长水平并不完全相同。因此，研究者在试验开始前记录下每株的高度（厘米）作为衡量植物健康与成长水平的标准。试进行协方差分析，问两个处理对花生的产量有无影响。（花生产量.MTW）
进行协方差分析后得到如下结果
【结果1】一般线性模型拟合了不同肥料的回归方程，从方程的常量可见，花生高度固定的情况下，缓慢释放组的产量最高，对照组次之，快速释放组最低。高度的回归系数（0.05581）为正值，可认为花生的高度越高，产量越高。
★结果得到三种不同肥料花生产量回归方程：
【结果2】扣除协变量影响后（校正高度=49.90cm），对照组、缓慢释放组和快速释放组的花生产量的最小二乘均值分别为12.31、15.89和9.17。如要进一步比较不同肥料组和对照组的差别，可进行均值的多重比较，详见例7-32。
★可见，最终调整平均值是将协变量（花生高度为49.90cm）分别代入上面的三个方程所得到的估计平均值。因此，估计平均值相当于因变量总体平均值的拟合值或预测值，并非根据实际测量数据计算的算术平均值，此时是不能计算标准差的，只能计算平均值的标准误。
至于平均值的标准误的定义，可参阅本公众号文章《统计基础：拟合值的标准误 (SE Fit)》。
拟合值的标准误 (SE Fit)
估计一组给定的预测变量值、因子水平或分量的估计平均响应中的变异，并用于生成预测的置信区间。标准误越小，估计的平均响应越精确。
例如，交货时间回归模型预测，特定的预测变量值组合（优先出货、中箱、500 英里）产生的预测（拟合）平均交货时间为 3.80 天，SE 拟合值为 0.08 天。
SE 拟合值可以与拟合值一起，用于创建此预测变量设置组合的预测平均响应的置信区间。例如，根据样本数量，95% 的预测置信区间将从预测均值向外展开大约 +/- 两个 SE 拟合值。对于此示例，预测平均响应的 95% 置信区间为 (3.64, 3.96) 天。总体均值落于此范围内的置信度为 95%。
本文主要内容摘自本公众号编著的《Minitab 统计分析方法及应用(第2版)》第178-179页。
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