本学期开学快两月了，孩子们的期中考试也快到了！作为一个闲不住又想为学生多做点事情的雷老师，今天就将给大家来盘点一下八年级下册第一章知识点的专题归纳！希望可以帮到你们！闲话不多说，我们开始吧！
北师大版八年级数学下册第一章主要讲解的就是三角形的证明！
接下来雷老师将要通过六个专题，来带你回顾第一张的知识！
专题1：判定三角形全等
三角形全等的判定方法有:SSS,SAS,ASA,AAS,HL,其中HL仅限于直角三角形.掌握三角形全等的判定方法是利用全等三角形的性质解决问题的前提,在具体判定三角形全等时,需要根据已知条件选择合适的方法.若已知两角,则寻找任一边,用ASA或AAS判定;若已知一角及其对边,则寻找任一角,用AAS判定;若已知一角及其邻边,则寻找角的另一邻边或任一角,用SAS或ASA或AAS判定;若已知两边,则寻找夹角、另一边或直角,用SAS或SSS或HL判定.
典例1(2018·鹤岗中考)如图1-1,在Rt△BCD中,∠CBD=90°,BC=BD,点A在CB的延长线上,且BA=BC,点E在直线BD上移动,过点E作射线EF⊥EA,交CD所在直线于点F.
(1)当点E在线段BD上移动时,如图1-1(1)所示,求证:BC-DE=
DF.
(2)当点E在直线BD上移动时,如图1-1(2)、图1-1(3)所示,线段BC,DE与DF又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,不需证明.
思路点拨:(1)在BA上截取BH,使得BH=BE,构造全等三角形即可解决问题;(2)类比(1)中的方法构造全等三角形即可求解.
解析:(1)如图1-2(1),在BA上截取BH,使得BH=BE
∵BC=AB=BD,BE=BH,
∴AH=ED
∵∠AEF=∠ABE=90°
∴∠AEB+∠FED=90°,∠AEB+∠BAE=90°
∴∠FED=∠EAH
∵BH=BE, BC=BD
∴∠BHE=∠CDB=45°,
又∵∠BHE+∠AHE=∠CDB+∠EDF=180°,
∴∠AHE=∠EDF=135°,
∴△AHE≌△EDF(ASA),
∴HE= DF
∴BC-DE=BD-DE=BE=
EH=
DF
即BC-DE=
DF
(2)如图1-2(2),在BC上戳取BH=BE,同(1)中方法可证DF=EH,于是可得DE-BC=
DF.
如图1-2(3)中,延长线段BA至点H,使得BH=BE同(1)中方法可证DF=HE,于是可得BC+DE=
DF
名师点评：求解本题的关键是利用“截长补短法”构造全等三角形,具体做法是:在某一条线段上截取一条与特定线段相等的线段,或将某条线段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种方法适用于证明线段的和、差、倍、分等类型的题目.
专题2:等腰三角形的性质与判定
等腰三角形是特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性质外,还具有自身特有的性质:“等边对等角”或“三线合一”,这些性质在证明角相等、线段相等、线与线垂直或平行时具有重要的作用。判定三角形是等腰三角形,可利用“定义法”或“等角对等边”。等腰三角形的性质与判定实现了边与角的转化
典例2：如图1-3(1),在△ABC中,AB=AC,∠B,∠C的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC分别交AB,AC于点E,F
(1)如图1-3(1)中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE,CF之间有着怎样的数量关系,并说明理由.
(2)如图1-3(2),若AB≠AC,其他条件不变,则图中还存在等腰三角形吗?如果有,分别指出它们.第(1)问中EF与BE,CF间的关系还存在吗?请说明理由.
(3)如图1-3(3),若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO相交于点O,过点O作OE∥BC交AB于点E,交AC于点F.这时还有等腰三角形吗?EF与BE,CF间的关系又如何?请说明你的理由.
解析:(1)图1-3(1)中是等腰三角形的有:△AEF,△OEB,△OFC,△OBC,△ABC.EF,BE,FC的关系是EF=BE+FC.理由如下
∵OB,OC平分∠ABC,∠ACB
∴∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB.
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO,∠FOC=∠OCB=∠FCO,即EO=EB,FO=FC,
∴EF=EO+OF=BE+CF.
(2)当AB≠AC时,△EOB,△FOC仍为等腰三角形,(1)中的结论仍然成立.理由如下:
∵OB,OC平分∠ABC,∠ACB,
∴∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB
∵EF∥BC,
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO,∠FOC=∠OCB=∠PCO,即EO=EB,FO=FC,
∴EF=E0+OF=BE+CF.
(3)△EOB和△FOC仍是等腰三角形,EF与BE,FC的关系是EF=BE-FC.理由如下:
同(1)可证得△EOB是等腰三角形
∵EO∥BC,∴∠FOC=∠OCG
∵OC平分∠ACG,∴∠FCO=∠OCG=∠FOC,
∴FO=FC,故△FOC是等腰三角形,
∴EF=EO-FO= BE-FC
名师点评:等腰三角形的性质与判定的实质是“等边对等角”和“等角对等边”,其条件和结论互逆,前者是证明两角相等的常用方法,而后者是证明两条线段相等的常用方法.
专题3:含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半,这个性质常与直角三角形的两个锐角互余综合运用,我们常利用这个性质求线段的长度或证明线段间的倍分关系。(直角三角形中，斜边上的中线，等于斜边的一半)
典例3：如图1-4,在Rt△ABD中,∠ADB=90°,∠A=60°,DC∥AB,且∠DBC=∠BDC,DC与BC
相交于点C,CD=4
(1)求∠DBC的度数；
(2)求AB的长；
思路点拨：(1)根据直角三角形的性质得出∠ABD的度数,再由平行线的性质及已知条件可求得∠DBC的度数;(2)过点C作CM⊥BD于点M,延长CM交AB于点E,连接DE根据含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质与判定即可求出AB的长.
解析：(1)在Rt△ABD中,∵∠A=60°,∠ADB=90°,
∴∠ABD=30°
∵DC∥AB,所以∠CDB=∠ABD=30°
∴∠DBC=∠BDC=30°
(2)如图1-5,过点C作CM⊥BD于点M,延长CM交AB于点E,连接DE
∵∠DBC=∠BDC,∴CD=CB
∴CE是BD的垂直平分线,
∴DE=BE.∴∠EDB=∠EBD=30°
∵∠DEM=90°-∠EDM=90°-30°=60°，∠DCM=90°-∠CDM=90°-30°=60°
∴∠DEM=∠DCM,∴DE=DC=4
∵∠DEA=∠EDB+∠DBE=60°,∠A=60°
∴DA= DE=4
在Rt△ABD中,∠ADB=90°,∠ABD=30°,
∴AB=2AD=8
专题4：线段的垂直平分线的性质定理
线段的垂直平分线的性质定理是解决线段相等、角相等、直线与直线垂直等问题的重要方法之一,且常与角平分线的性质定理结合起来考查.线段的垂直平分线构成的基本图形中有许多相等的线段和角,解题时应注意挖掘.
典例4：如图1-6,已知锐角三角形ABC中,边AB,AC的垂直平分线OD,OE,分别交AB于点D,交AC于点E,OD,OE相交于点O,连接OB,OC.
(1)若∠BAC=a(0°＜a＜90°),求∠BOC的度数;
2)试判断∠ABO+∠ACB是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由。
思路点拨：(1)由线段的垂直平分线联想到连接AO,将∠BOC与∠BAC联系起来;(2)根据OA=OB=OC进行求解.
解析：(1)如图1-7,连接AO并延长,交BC于点F
∵OD,OE分别是边AB,AC的垂直平分线,
∴A0=B0=C0,
∴∠OAB=∠OBA,∠0CA=∠OAC,
∴∠BOF=∠ABO+∠BAO=2∠BAO,∠COF=∠AC0+∠CAO=2∠CAO,
∴∠BOC=∠B0F+∠COF=2(∠BA0+∠CA0)=2∠BAC=2a
(2)∠ABO+∠ACB为定值理由如下：
由(1)知,∠BOC=2∠BAC,BO=C0,∴∠OBC=∠OCB
∴∠OBC=
(180°-∠B00)=
(180°-2∠BAC)=90°-∠BAC
∵∠ABO+∠ACB+∠OBC+∠BAC=180°,
∴∠ABO+∠ACB=180°-∠0BC-∠BAC=180°-(90°-∠BAC)-∠BAC=90°,即∠ABO+∠ACB为定值90°
专题5：角平分线性质定理的应用
对于角平分线的问题常需要添加辅助线进行求解.常用的添加辅助线的方法为:过角平分线上一点向角的两边作垂线段.角平分线的性质定理和三角形全等都是证明线段相等或角相等的常用的理论依据,它们常常综合在一起考查,通常是利用角平分线的性质定理得到判定三角形全等的条件,由全等三角形的性质得到更多相等的线段和相等的角,进而为解决问题提供条件.
典例5:已知:点P为∠BAF的平分线上一点,PB⊥AE于点B,PC⊥AF于点C,点M,N分别是射线AE,AF上的点,且PM=PN.
(1)当点M在线段AB上,点N在线段AC的延长线上时(如图1-8),求证:BM=CN;
(2)在(1)的条件下,AM+AN=AC;
(3)当点M在线段AB的延长线上,点N在线段AC上时(如图1-9),若AC:PC=2:1,PC=4,求四边形ANPM的面积.
思路点拨:(1)由点P为∠EAF的平分线上一点,PB⊥AE,PC⊥AF,根据角平分线的性质定理,可得PB=PC,又由PM=PN,利用HL,即可判定Rt△PBM≌Rt△PCN,则可证得结论;(2)结合全等三角形的性质易证得AB=AC,又由AM+AN=AM+CN+AC=AM+BM+AC=AB+AC,即可证得结论;(3)由AC:PC=2:1,PC=4,即可求得AC的长,又由S四边形ANPM=S△APN+S△APB+S△PBM
=S△APN+S△APB+S△PCN=S△APC+S△APB,即可求得四边形ANPM的面积.
解析:(1)∵点P为∠EAF的平分线上一点,PB⊥AE,PC⊥AF,∴PB=PC.
在R△PBM和R△PCN中,PM=PN角平分线的画法尺规作图，PB=PC∴Rt△PBM≌Rt△PCN(HL),∴BM=CN
(2)2在R△PAB和Rt△PAC中PB=PC，PA=PA,
∴Rt△PAB≌Rt△PAC(HL),∴AB=AC
由(1)知BM=CN,
∴AM+AN=AM+CN+AC=AM+BM+AC=AB+AC=2AC
(3)由题意易得Rt△PBM≌Rt△PCN
∵AC:PC=2:1.PC=4,∴AC=8
∴AB=AC=8.PB=PC=4
S四边形ANPM=S△APN+S△APB+S△PBM=S△APN+S△APB+S△PCN
=S△APC+S△APB=
AC·PC+
AB·PB=32
专题6:尺规作图及其应用
尺规作图常与实际生活、几何图形相联系,重在考查同学们的动手作图能力、空间想象能力及分析和解决问题的能力在考试中,通常先利用尺规作图,再
综合计算或证明解决此类题的方法就是掌握初中的一些基本作图,并理解其原理,会解释作图过程
典例6:如图1-10,以∠AOB的顶点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D,再分别以点C,D为圆心,大于CD的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点E,过点E作射线OE,连接CD,则下列说法错误的是( )
A.射线OE是∠AOB的平分线
B.△COD是等腰三角形
C.C,D两点关于OE所在的直线对称
D.O,E两点关于CD所在的直线对称
解析:由角平分线的画法得,射线OE是∠AOB的平分线,故A选项正确.由同圆的半径相等得OC=0D,即△COD是等腰三角形,故B选项正确.由B选项和A选项及等腰三角形的“三线合一”的性质得,OE垂直平分CD,所以C,D两点关于OE所在的直线对称故C选项正确.因为题目中的条件不足以求得CD一定垂直平分OE,故D选项不正确
答案：D
最后，做完题角平分线的画法尺规作图，休息一会吧！放松大脑！
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